Question

4．求橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$被直線x+3y+1=0所截得的弦長．

Answer 1

分析 將直線x+3y+1=0代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$的方程，得出關(guān)于x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式，從而可求弦長．

解答 解：將直線x+3y+1=0即y=$-\frac{1}{3}$（x+1）代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$的方程，整理得11x²+4x-34=0
設(shè)直線與橢圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴x₁+x₂=-$\frac{4}{11}$，x₁x₂=-$\frac{34}{11}$．
∴橢圓被直線截得的弦長為AB=$\sqrt{1+（{-\frac{1}{3}）}^{2}}$×|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{10}}{3}$×$\sqrt{（-\frac{4}{11}）^{2}+4×\frac{34}{11}}$=$\frac{2\sqrt{382}}{11}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{382}}{11}$．

點評 本題以直線與橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查方程思想．