Question

3．方程-x³+x²+x-2=0的根的分布情況是（　　）

• A． 一個(gè)根，在（-∞，-$\frac{1}{3}$）內(nèi)
• B． 兩個(gè)根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（0，+∞）內(nèi)
• C． 三個(gè)根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（-$\frac{1}{3}$，0），（1，+∞）
• D． 三個(gè)根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（0，1），（1，+∞）內(nèi)

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=-x³+x²+x-2，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的極值和單調(diào)性，利用函數(shù)極值的符號(hào)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：設(shè)f（x）=-x³+x²+x-2，
則f′（x）=-3x²+2x+1=-（x-1）（3x+1），
由f′（x）＞0得-（x-1）（3x+1）＞0，即（x-1）（3x+1）＜0，
得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得，x＜-$\frac{1}{3}$或＞1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=-$\frac{1}{3}$時(shí)，函數(shù)取得極小值，此時(shí)極小值為f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{61}{54}$＜0，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，此時(shí)極大值為f（1）=-1＜0，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上只有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程-x³+x²+x-2=0只有一個(gè)根，根所在的區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{3}$），
故選：A，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．