Question

3．方程-x³+x²+x-2=0的根的分布情況是（　�。�

• A． 一個根，在（-∞，-$\frac{1}{3}$）內
• B． 兩個根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（0，+∞）內
• C． 三個根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$）、（-$\frac{1}{3}$，0），（1，+∞）
• D． 三個根，分別在（-∞，-$\frac{1}{3}$），（0，1），（1，+∞）內

Answer 1

分析 構造函數f（x）=-x³+x²+x-2，求函數的導數，判斷函數的極值和單調性，利用函數極值的符號進行判斷即可．

解答 解：設f（x）=-x³+x²+x-2，
則f′（x）=-3x²+2x+1=-（x-1）（3x+1），
由f′（x）＞0得-（x-1）（3x+1）＞0，即（x-1）（3x+1）＜0，
得-$\frac{1}{3}$＜x＜1，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得，x＜-$\frac{1}{3}$或＞1，此時函數單調遞減，
即當x=-$\frac{1}{3}$時，函數取得極小值，此時極小值為f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{61}{54}$＜0，
當x=1時，函數取得極大值，此時極大值為f（1）=-1＜0，
當x→-∞時，f（x）＞0，
故函數f（x）在（-∞，-$\frac{1}{3}$）上只有一個零點，
即方程-x³+x²+x-2=0只有一個根，根所在的區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{3}$），
故選：A，

點評 本題主要考查方程根的個數的判斷，構造函數，求函數的導數，利用導數研究函數的極值是解決本題的關鍵．