Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1=2S_n+n²-n+1（n≥1）．
（1）求證：數(shù)列{a_n+n-$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由已知條件條件推導(dǎo)出數(shù)列數(shù)列{a_n+n-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，以3為公比的比數(shù)列，
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．

解答 證明（1）∵a_n+1=2S_n+n²-n+1（n≥1），
∴a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1，
∴a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∴a_n+1+n+1-$\frac{1}{2}$=3（a_n+n-$\frac{1}{2}$），
∵a₁=1，
∴a₁+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴數(shù)列{a_n+n-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$為首項(xiàng)，以3為公比的比數(shù)列，
（2）由（1）可知，a_n+n-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3^n-1，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-n+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用，屬于中檔題．