Question

8．（x²-x-2）⁴的展開式中，x³的系數(shù)為-40（用數(shù)字填寫答案）

Answer 1

分析 解法一：根據(jù)（x²-x-2）⁴ =（x-2）⁴•（x+1）⁴ ，把（x-2）⁴和（x+1）⁴ 分別使用二項式定理展開，可得x³的系數(shù)．
解法二：根據(jù)乘方的意義，分類討論求得x³的系數(shù)．

解答 解：解法一：∵（x²-x-2）⁴ =（x-2）⁴•（x+1）⁴ =
[${C}_{4}^{0}$•x⁴+${C}_{4}^{1}$•x³•（-2）+${C}_{4}^{2}$•x²•（-2）²+${C}_{4}^{3}$•x•（-2）³+${C}_{4}^{4}$•（-2）⁴]•（${C}_{4}^{0}$•x⁴+${C}_{4}^{1}$•x³+${C}_{4}^{2}$•x²+${C}_{4}^{3}$•x+${C}_{4}^{4}$）
故x³的系數(shù)為-2${C}_{4}^{1}$•1+4${C}_{4}^{2}$•${C}_{4}^{3}$+（-8${C}_{4}^{3}$）•${C}_{4}^{2}$+16•${C}_{4}^{1}$=-40，
故答案為：-40．
解法二：∵（x²-x-2）⁴ 表示4個因式（x²-x-2）的乘積，
x³的系數(shù)可以是：從4個因式中選一因式提供x²，其余的3個因式中有一個提供（-x），其余的2個因式都提供（-2），
也可以是從4個因式中選3個因式都提供（-x），其余的1個提供（-2），可得x³的系數(shù)，
故x³的系數(shù)為：${C}_{4}^{1}$•${C}_{3}^{1}$（-1）•${C}_{2}^{2}$（-2）²+${C}_{4}^{3}$（-1）•（-2）=-48+8=-40．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，乘方的意義，屬于中檔題．