Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n=$\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ+1，求數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{b_n}}\right\}$的最大項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將n換為n+1，兩式相減，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$=1，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由n換為n-1，可得${b_n}={2^{n-1}}$，令$f（n）=\frac{S_n}{b_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，求得f（n+1）-f（n），即可判斷f（n）的單調(diào)性，進(jìn)而得到所求最大項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）由${S_n}=\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，得${S_{n+1}}=\frac{{（{n+2}）}}{2}{a_{n+1}}$，
所以${a_{n+1}}={S_{n+1}}-{S_n}=\frac{{（{n+2}）}}{2}{a_{n+1}}-\frac{{（{n+1}）}}{2}{a_n}$，
所以$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}$=1，
故$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是常數(shù)列．                 
所以a_n=n；
（Ⅱ）一方面，由${a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+…+{a_n}{b_n}=（{n-1}）•{2^n}+1$知，
當(dāng)n≥2時(shí)$n{b_n}=（{n-1}）•{2^n}-（{n-2}）•{2^{n-1}}=n•{2^{n-1}}$，解得${b_n}={2^{n-1}}$，
而a₁•b₁=1，所以b₁=1，適合上式．
故對(duì)n∈N*有${b_n}={2^{n-1}}$；
另一方面，令$f（n）=\frac{S_n}{b_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}$，
則$f（{n+1}）-f（n）=\frac{{{{（{n+1}）}^2}+（{n+1}）}}{{{2^{n+1}}}}-\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{{-{n^2}+n+2}}{{{2^{n+1}}}}$，
所以f（3）=f（2）＞f（1），且f（3）＞f（4）＞f（5）＞…＞f（n）＞…
故數(shù)列$\left\{{\frac{S_n}{b_n}}\right\}$的最大項(xiàng)為f（2）或f（3），即為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換相減法，考查數(shù)列的最大項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．