Question

3．已知關(guān)于x的方程x²+ax+2b-2=0（a，b∈R）有兩個相異實根，若其中一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則$\frac{b-4}{a-1}$的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$．

Answer 1

分析 由題意知$\left\{\begin{array}{l}{2b-2＞0}\\{1+a+2b-2＜0}\\{4+2a+2b-2＞0}\end{array}\right.$，從而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題求解即可．

解答 解：令f（x）=x²+ax+2b-2，
由題意知，
$\left\{\begin{array}{l}{2b-2＞0}\\{1+a+2b-2＜0}\\{4+2a+2b-2＞0}\end{array}\right.$，
作其表示的平面區(qū)域如下，
，
$\frac{b-4}{a-1}$的幾何意義是點A（1，4）與陰影內(nèi)的點的連線的斜率，
直線m過點B（-3，2），故k_m=$\frac{2-4}{-3-1}$=$\frac{1}{2}$；
直線l過點C（-1，1），故k_l=$\frac{1-4}{-1-1}$=$\frac{3}{2}$；
結(jié)合圖象可知，
$\frac{b-4}{a-1}$的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$；
故答案為：$（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}）$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系應(yīng)用及線性規(guī)劃的變形應(yīng)用．