Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，cosβ）．
（1）求|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的最小值；
（2）若向量$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow$$•\overrightarrow{c}$=$\frac{3}{5}$，β∈（0，π），求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$的坐標(biāo)，代入模的公式化簡，則|$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|的最小值可求；
（2）利用數(shù)量積求得$sin（β-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，結(jié)合角的范圍及平方關(guān)系求得cos（$β-\frac{π}{3}$），再利用“拆角、配角”方法求得sinβ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，cosβ），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（2cosα+sinβ，2sinα+cosβ）$，
則$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{（2cosα+sinβ）^{2}+（2sinα+cosβ）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}α+4cosαsinβ+si{n}^{2}β+4si{n}^{2}α+4sinαcosβ+co{s}^{2}β}$
=$\sqrt{5+4sin（α+β）}$．
∴當(dāng)sin（α+β）=-1時，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}_{min}=1$；
（2）由$\overrightarrow$=（sinβ，cosβ），$\overrightarrow{c}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），且$\overrightarrow$$•\overrightarrow{c}$=$\frac{3}{5}$，
得$-\frac{1}{2}sinβ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosβ$=$-sin（β-\frac{π}{3}）=\frac{3}{5}$，
即$sin（β-\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
∵β∈（0，π），∴$-\frac{π}{3}＜β-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴cos（$β-\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-（-\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{4}{5}$，
則sinβ=sin[（$β-\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（$β-\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+cos（$β-\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換運(yùn)用，考查計算能力，是中檔題．