Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），經(jīng)過點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓方程；
（2）直線MN方程為y=kx+m，分別交橢圓于M，N兩點
①M，N與橢圓左頂點的兩條連線斜率乘積為-$\frac{1}{2}$，求證直線MN過定點，并求出定點坐標(biāo)．
②△MON的重心G在以原點為圓心，$\frac{2}{3}$為半徑的圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，從而代入點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）求解即可；
（2）①設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），從而聯(lián)立方程并應(yīng)用韋達(dá)定理可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，再利用斜率公式求直線的斜率，從而化簡求得．
②結(jié)合①知求出△MON的重心G（-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$，$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$））；從而得到[-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$]²+[$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）]²=$\frac{4}{9}$，從而獨立m求解即可．

解答 解：（1）∵兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形，
∴c=b，
∴a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{2^{2}}$+$\frac{1}{2^{2}}$=1，∴b=1，a=$\sqrt{2}$；
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立方程可得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，
消y化簡可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
故x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k²（x₁•x₂）+km（x₁+x₂）+m²
=k²$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-km$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+m²，
左頂點A（-$\sqrt{2}$，0）；
故k_MA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$，k_NA=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$，
故k_MA•k_NA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+\sqrt{2}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即2y₁•y₂+x₁•x₂+$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+2=0，
即2（k²$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-km$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+m²）+$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\sqrt{2}$$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$+2=0，
即m=0或m=$\sqrt{2}$k，
故直線MN的方程為y=kx或y=k（x+$\sqrt{2}$）（過點A，舍去）；
故直線MN過定點（0，0）；
②由①知，x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=（kx₁+m）+（kx₂+m）=2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
故△MON的重心G（-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$，$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$））；
故[-$\frac{4km}{3（1+2{k}^{2}）}$]²+[$\frac{1}{3}$（2m-k$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）]²=$\frac{4}{9}$，
化簡可得，m²=$\frac{（1+2{k}^{2}）^{2}}{1+4{k}^{2}}$=1+$\frac{4{k}^{4}}{1+4{k}^{2}}$≥1，
故m≥1或m≤-1．

點評 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡運算能力，屬于難題．