Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O）
（1）求向量

b

+

c

的長度的最大值；
（2）設α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），求cosβ的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（1）運用向量的模的公式以及向量的數量積的坐標表示，再由余弦函數的值域即可得到最大值；
（2）運用向量垂直的條件，結合向量的數量積的坐標表示，以及同角的平方關系，即可求得cosβ的值．

解答： 解：（1）由

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（-1，O），
則|

b

|=

cos2β+sin2β

=1，|

c

|=1，
即有|

b

+

c

|=

b 2+ c 2+2 b • c

=

1+1-2cosβ

=

2-2cosβ

，
當cosβ=-1時，向量

b

+

c

的長度的最大值為2；
（2）設α=

π

4

，且

a

⊥（

b

+

c

），
則

a

•(

b

+

c

)=0，
即有

a

•

b

+

a

•

c

=0，
即cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=0，

2

2

（cosβ+sinβ）=

2

2

，即為sinβ+cosβ=1，
又sin²β+cos²β=1，
可得cosβ=0或1

點評：本題考查向量的數量積的坐標表示和性質，主要考查向量的垂直的條件和模的求法，同時考查同角的平方關系，屬于基礎題．