Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=S_n-1+a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N），且首項(xiàng)a₁=1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

2n

anan+1

，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得an=Sn-Sn-1=an-1+2n，n≥2，a₁=1，由此利用累加法能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，利用裂項(xiàng)求和法能證明對(duì)一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

解答： （1）解：∵S_n=S_n-1+a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N），
∴an=Sn-Sn-1=an-1+2n，n≥2，
又∵a₁=1，
∴a_n=a₁+a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1
=1+2+2²+…+2^n-1
=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．
（2）證明：∵b_n=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
∴b₁+b₂+…b_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1，
∴對(duì)一切正整數(shù)n，有b₁+b₂+…b_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．