Question

8．若二次函數(shù)y=f（x）（x∈R）的最大值為5，且f（3）=f（-1）=1．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程x²-mf′（x）+4m+1=0（f′（x）為函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)）其中一根在（-∞，0）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（3）=f（-1）可得函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)y=f（x）（x∈R）的最大值為5，設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入（3，1）點(diǎn)可得答案；
（2）若x²-mf′（x）+4m+1=0其中一根在（-∞，0）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，則x²+2mx+2m+1=0其中一根在（-∞，0）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²+2mx+2m+1，則$\left\{\begin{array}{l}g（0）＜0\\ g（1）＜0\\ g（2）＞0\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）∵f（3）=f（-1）=1．
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
又由函數(shù)y=f（x）（x∈R）的最大值為5，
可設(shè)函數(shù)y=f（x）=a（x-1）²+5，
將（3，1）代入得：a=-1，
∴f（x）=-（x-1）²+5=-x²+2x+4，
（2）由（1）得：f′（x）=-2x+2，
若x²-mf′（x）+4m+1=0其中一根在（-∞，0）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，
則x²+2mx+2m+1=0其中一根在（-∞，0）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，
令g（x）=x²+2mx+2m+1，
則$\left\{\begin{array}{l}g（0）＜0\\ g（1）＜0\\ g（2）＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2m+1＜0\\ 4m+2＜0\\ 6m+5＞0\end{array}\right.$，
解得：m∈（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．