Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n+a_n=2n+4（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式．
（2）令b_n=$\frac{1}{{3}^{n}{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推式可得：2a_n+a_n-a_n-1=2，變形為a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{3}^{n+1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$，利用“裂項求和”、不等式的性質(zhì)即可證明．

解答 證明：（1）∵2S_n+a_n=2n+4（n∈N^*），
∴當n=1時，2a₁+a₁=2+4，解得a₁=2．
當n≥2時，2S_n-1+a_n-1=2（n-1）+4，
2a_n+a_n-a_n-1=2，化為a_n=$\frac{1}{3}{a}_{n-1}+\frac{2}{3}$，a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，首項為1，公比為$\frac{1}{3}$．
∴a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即a_n=1-$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{3}^{n}{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$＜$\frac{1}{4}$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、等比數(shù)列的定義及其通項公式、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．