Question

7．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，且AN=$\frac{1}{2}$NC，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，試以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為基底表示$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{NE}$=x$\overrightarrow{NB}$，$\overrightarrow{ME}$=y$\overrightarrow{MC}$，從而分別表示出$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{NE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+x（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）=x$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（1-x）$\overrightarrow$，$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{ME}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+y（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$（1-y）$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，從而可得x=$\frac{1}{2}$（1-y）且y=$\frac{1}{3}$（1-x），從而解得．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{NE}$=x$\overrightarrow{NB}$，$\overrightarrow{ME}$=y$\overrightarrow{MC}$，
$\overrightarrow{NB}$=$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{NE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+x（-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$）=x$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$（1-x）$\overrightarrow$，
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{ME}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+y（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\frac{1}{2}$（1-y）$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow$，
∴x=$\frac{1}{2}$（1-y）且y=$\frac{1}{3}$（1-x），
解得，x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{1}{5}$；
故$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．