Question

18．植物園擬建一個多邊形苗圃，苗圃的一邊緊靠著長度大于30m的圍墻．現(xiàn)有兩種方案：
方案①多邊形為直角三角形AEB（∠AEB=90°），如圖1所示，其中AE+EB=30m；
方案②多邊形為等腰梯形AEFB（AB＞EF），如圖2所示，其中AE=EF=BF=10m．
請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．

Answer 1

分析 設方案①，②的多邊形苗圃的面積分別為S₁，S₂，根據(jù)基本不等式求出S₁的最大值，用導數(shù)求出S₂的最大值，比較即可．

解答 解：設方案①，②的多邊形苗圃的面積分別為S₁，S₂，
方案①，設AE=x，則S₁=$\frac{1}{2}$x（30-x）≤$\frac{1}{2}$[$\frac{x+（30-x）}{2}$]²=$\frac{225}{2}$，當且僅當x=15時，取等號，
方案②，設∠BAE=θ，則S₂=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
由S₂′=100（2cos²θ+cosθ-1）=0得cosθ=$\frac{1}{2}$（cosθ=-1舍去），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴θ=$\frac{π}{3}$，
當S₂′＞0，解得0＜x＜$\frac{π}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當S₂′＜0，解得$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當θ=$\frac{π}{3}$時，（S₂）max=75$\sqrt{3}$，
∵$\frac{225}{2}$＜75$\sqrt{3}$，
∴建立苗圃時用方案②，且∠BAE=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了基本不等式和導數(shù)的基本應用，關鍵是求導，屬于中檔題．