Question

12．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A是橢圓M與圓C：x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²在第一象限的交點，且點A到F₂的距離等于$\frac{1}{3}$m，若橢圓M上一動點到點F₁與到點C的距離之差的最大值為2a-m，則橢圓M的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求得圓C的圓心和半徑，運用橢圓的定義和三點共線的性質(zhì)，可得當(dāng)P在線段CF₂上時，|PF₂|+|PC|取得最小值|CF₂|，即有|PF₁|-|PC|的最大值為2a-m=2a-|CF₂|，再由直線CF₂：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{2\sqrt{2}b}$=1，聯(lián)立圓的方程，求得交點A，代入橢圓方程，運用離心率公式即可得到所求值．

解答 解：圓C：x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²的圓心C（0，2$\sqrt{2}$b），半徑為$\frac{2}{3}$m，m＞0，
|AF₂|=$\frac{1}{3}$m，可得|AC|+|AF₂|=m，
由橢圓上一動點P到點F₁與到點C的距離之差的最大值為2a-m，
由橢圓的定義可得|PF₁|-|PC|=2a-|PF₂|-|PC|=2a-（|PF₂|+|PC|），
當(dāng)P在線段CF₂上時，|PF₂|+|PC|取得最小值|CF₂|，
即有|PF₁|-|PC|的最大值為2a-m=2a-|CF₂|，
則|CF₂|=m，可得|CF₂|=|AC|+|AF₂|=m=$\sqrt{{c}^{2}+8^{2}}$，
即有A在線段CF₂上，
由CF₂：$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{2\sqrt{2}b}$=1，聯(lián)立圓的方程x²+（y-2$\sqrt{2}$b）²=$\frac{4}{9}$m²，
解得x=$\frac{2}{3}$c，y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b．
即A（$\frac{2}{3}$c，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$b），代入橢圓方程可得：
$\frac{4{c}^{2}}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{9}$=1，即a=2c，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和圓方程求交點，考查三點共線的性質(zhì)以及橢圓離心率的求法，屬于中檔題．