Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，且直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（1）求橢圓C的方程．
（2）過點(diǎn)S（0，-

1

2

）且斜率為1的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，求△OMN的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直線代入拋物線方程，利用直線x-y+b=0與拋物線y²=4x相切，可得△=（2b-4）²-4b²=0，求出b，再利用橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，求出a，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l的方程為y=x-

1

2

，與

x2

2

+y²=1聯(lián)立消y，求出|MN|及原點(diǎn)O到直線l的距離，即可求△OMN的面積．

解答： 解：（1）由

x-y+b=0 y2=4x

⇒x²+（2b-4）x+b²=0．
∵直線x-y+b=0與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0⇒b=1．
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，
∴a=

2

，
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y²=1．
（2）由已知得直線l的方程為y=x-

1

2

，與

x2

2

+y²=1聯(lián)立消y得3x²-2x-

3

2

=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

1

2

，
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

22

9

，
∴|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2 11

3

．
又原點(diǎn)O到直線l的距離為d=

1

2 2

，
∴S_△OMN=

1

2

×

2 11

3

×

1

2 2

=

22

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．