Question

8．已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且過點A（2，2$\sqrt{2}$）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過拋物線的焦點F和點A的直線l交拋物線于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px，把點A（2，2$\sqrt{2}$）的坐標代入求p，則拋物線方程可求；
（2）寫出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線過焦點的弦長公式求解．

解答 解：（1）依題意可設(shè)拋物線的標準方程為y²=2px，
將點A（2，2$\sqrt{2}$）代入y²=2px，得p=2，
∴拋物線的標準方程為y²=4x；
（2）由已知得直線l的方程為$y=2\sqrt{2}（x-1）$，代入拋物線的標準方程，
得2x²-5x+2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{5}{2}$，
又∵拋物線過焦點的弦長為|AB|=x₁+x₂+p，
∴|AB|=$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查拋物線過焦點的弦長公式，是基礎(chǔ)題．