Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-（3a+1）x+2a+1（a∈R）．
（1）若f（x）≤0恒成立，試求a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時，易知f（x）=-x+1，再討論當(dāng)a≠0時可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（3a+1）^{2}-4a（2a+1）≤0}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）化簡不等式[ax-（2a+1）]（x-1）＜0，從而分類討論以求解不等式即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=-x+1，f（x）≤0不可能恒成立；
當(dāng)a≠0時，
$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=（3a+1）^{2}-4a（2a+1）≤0}\end{array}\right.$，
解得，a=-1．
（2）∵f（x）=ax²-（3a+1）x+2a+1＜0，
∴[ax-（2a+1）]（x-1）＜0，
當(dāng)a＜-1時，$\frac{2a+1}{a}$＞1，
故不等式的解集為$（-∞，1）∪（\frac{2a+1}{a}，+∞）$；
當(dāng)a=-1時，
故不等式的解集為{x|x≠1}；
當(dāng)-1＜a＜0時，$\frac{2a+1}{a}$＜1，
故不等式的解集為$（-∞，\frac{2a+1}{a}）∪（1，+∞）$；
當(dāng)a=0時，
不等式的解集為（1，+∞）；
當(dāng)a＞0時，$\frac{2a+1}{a}$＞1；
故不等式的解集為$（{1，\frac{2a+1}{a}}）$．

點(diǎn)評 本題考查了恒成立問題與二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，難點(diǎn)在于分類討論的應(yīng)用．