Question

11．如圖，圓柱O-O₁中，AB為下底面圓O的直徑，CD為上底面圓O₁的直徑，AB∥CD，點(diǎn) E、F在圓O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．
（Ⅰ）求證：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若DF與底面所成角為$\frac{π}{4}$，求幾何體EF-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件證明BF⊥平面ADF，然后證明平面ADF⊥平面CBF．
（Ⅱ）推出$∠AFD=\frac{π}{4}$，求出四棱錐F-ABCD的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，底面面積S_ABCD=2，求出體積，然后之后求解幾何體EF-ABCD的體積．

解答 （Ⅰ）證明：由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF．…（5分）
（Ⅱ）解：因AD垂直于底面，若DF與底面所成角為$\frac{π}{4}$，則$∠AFD=\frac{π}{4}$，故AF=1，
則四棱錐F-ABCD的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又S_ABCD=2，${V_{F-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
三棱錐C-BEF的高為1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，
所以${S_{BEF}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，則${V_{C-BEF}}=\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，
所以幾何體EF-ABCD的體積為$\frac{{5\sqrt{3}}}{12}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力計(jì)算能力．