Question

已知凼數(shù)f（x）=log₃（ax²-x+1），其中a∈R
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，若f（x）的定義域?yàn)镽，則ax²-x+1＞0恒成立，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）當(dāng)a=1時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和值域的關(guān)系即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，
則ax²-x+1＞0恒成立，
若a=0，則不等式等價(jià)為1＞0，滿足條件．
若a≠0，則不等式滿足

a＞0 △=1-4a＜0

，
即

a＞0 a＞ 1 4

，解得a＞

1

4

，
綜上a＞

1

4

或a=0．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=log₃（x²-x+1），
設(shè)t=x²-x+1，則t=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴f（x）=log₃（x²-x+1）≥log₃

3

4

，
故f（x）的值域?yàn)閇log₃

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性和值域的關(guān)系以及不等式恒成立是解決本題的關(guān)鍵．