Question

12．定義一個對應(yīng)法則g：O′（m，n）→O（$\sqrt{m}$，n）（m≥0），現(xiàn)有點A′（1，-3）與B′（9，5），點M′是線段A′B′上一動點，按定義的對應(yīng)法則g：M′→M，當點M′在線段A′B′上從點的A′開始運動到點B′結(jié)束時，則點M′的對應(yīng)點M所形成的軌跡與x軸圍成的面積為4．

Answer 1

分析 先求M的軌跡，要根據(jù)點M與點M′的關(guān)系用代入法點M的軌跡方程，此方法特點是先設(shè)出點M'的坐標為（x，y），用之表示出點P的坐標，代入點M的坐標滿足的方程，得到點M'的橫縱坐標之間的關(guān)系，即軌跡為M，再由定積分其面積．

解答 解：A′B′的斜率k=$\frac{-3-5}{1-9}=\frac{8}{8}=1$，
直線l為A′B′：y+3=x-1，則y=x-4，且1≤x≤9
A′B′上的一點（x，y）通過法則變（x′，y′），
則y′=y，x′=$\sqrt{x}$，
故x=x′²，y′=x′²-4，1≤x′≤3
所求面積S=∫${\;}_{1}^{2}$（4-x²）dx+${∫}_{2}^{3}$（x²-4）dx=（4x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}$-4x）|${\;}_{2}^{3}$=4

點評 本題考查代入法求軌跡方程，根據(jù)對應(yīng)法則求出對應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．