Question

7．x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.3]=1，[-1.3]=-2．若函數(shù)f（x）=sinx-[sinx]，則下列結(jié)論中：
①函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上遞增，在（$\frac{π}{2}$，π]上遞減；
③函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
④函數(shù)f（x）的值域為[0，1]．
其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)y=sinx 和y=[sinx]的周期都是2π，可得函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的周期函數(shù)，求出它在一個周期[0，2π]上的解析式，分析可得結(jié)論．

解答 解：由于y=sinx 和y=[sinx]的周期都是2π，故函數(shù)f（x）=sinx-[sinx]是最小正周期為2π的周期函數(shù)，
故①正確．
函數(shù)f（x）=sinx-[sinx]在一個周期[0，2π]上的解析式為 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，x∈[0，\frac{π}{2}）}\\{0，x=\frac{π}{2}或x=2π}\\{sinx，x∈（\frac{π}{2}，π]}\\{sinx+1，x∈（π，2π）}\end{array}\right.$，
由f（x）的解析式可得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上遞增，在（$\frac{π}{2}$，π]上遞減，故②正確．
由于函數(shù)y=[sinx]是非奇非偶函數(shù)，故③錯誤．
由f（x）的解析式可得函數(shù)f（x）可得f（x）的值域為[0，1），故④不正確，
故選：B．

點評 本題主要考查新定義，函數(shù)的圖象特征，函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、定義域和值域，屬于中檔題．