Question

12．如圖所示，已知圓O的一條直徑為AB，PE是圓O的一條切線，E為切點(diǎn)，PC是圓O的一條割線，且交圓O于C，D兩點(diǎn)，AB交PC于F，BE交PC于G，△AFC∽△ACB．
（1）求證：∠PEG=∠PGE；
（2）若PG=5，PD=3，求DC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接AE，則AE⊥BE，證明∠PEG=∠EAB，∠BGF=∠EAB，即可證明：∠PEG=∠PGE；
（2）若PG=5，PD=3，由切割線可得PE²=PD•PC，即可求DC的長(zhǎng)度．

解答 （1）證明：連接AE，則AE⊥BE．
∵PE是圓O的一條切線，
∴∠PEG=∠EAB．
∵△AFC∽△ACB，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ACF+∠BAC=90°，
∴CF⊥AB．
∴∠BGF=∠EAB，
∵∠BGF=∠PGE，
∴∠PEG=∠PGE；
（2）解：由（1）可知PE=PG，
∴由切割線可得PE²=PD•PC，
∵PG=5，PD=3，
∴5²=3•（3+CD），
∴CD=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．