Question

4．已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形，且PA=PB=PC=PD=$\sqrt{3}$．若其外接球半徑為2，則四棱錐P-ABCD的高為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出棱錐的底面邊長(zhǎng)，找出棱錐外接球的球心，然后通過分類求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，

由題意可知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，過P作PM⊥平面ABCD，垂足為M，
則M是底面正方形的中心，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則AC=$\sqrt{2}a$，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
作PC的垂直平分線角PM于O，∴O為四棱錐外接球的球心，連接OC，
在Rt△PMC中，∵PC=$\sqrt{3}$，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴PM=$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
在Rt△PMC中，∵OC=2，MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，∴OM=$\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，
則$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}=2-\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$①，或$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}=2+\sqrt{4-\frac{1}{2}{a}^{2}}$②，
解①得：${a}^{2}=\frac{39}{8}$，代入PM=$\sqrt{3-\frac{1}{2}{a}^{2}}$，得PM=$\frac{3}{4}$；解②得：a不存在．
∴四棱錐P-ABCD的高為$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力和運(yùn)算能力，是中檔題．