Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）經(jīng)過點（$\frac{π}{12}$，-2），（$\frac{7π}{12}$，2），且在區(qū)間（$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$），上為單調(diào)函數(shù)．
（Ⅰ）求ω，φ的值；
（Ⅱ）設(shè)a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的前30項和S₃₀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{7ωπ}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），從而解得；
（Ⅱ）化簡a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2nsin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）（n∈N^*），而數(shù)列{2sin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）}的周期為3；從而可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-$\sqrt{3}$，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）由題可得$\frac{ωπ}{12}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{7ωπ}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z）；
解得ω=2，φ=2kπ-$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
∵|φ|＜π，∴φ=-$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵a_n=nf（$\frac{nπ}{3}$）=2nsin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）（n∈N^*），
而數(shù)列{2sin（$\frac{2nπ}{3}$-$\frac{2π}{3}$）}的周期為3；
前三項依次為2sin0=0，2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，2sin$\frac{4π}{3}$=-$\sqrt{3}$，
∴a_3n-2+a_3n-1+a_3n=-$\sqrt{3}$，
∴S₃₀=（a₁+a₂+a₃）+…+（a₂₈+a₂₉+a₃₀）=-10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用．