Question

16．設(shè)A為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點，點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF⊥BF．若∠ABF∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，則該橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$
• B． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• C． $[{0，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$
• D． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}]$

Answer 1

分析 設(shè)左焦點為：N．連接AF，AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a．
∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，根據(jù)α的取值范圍即可得出．

解答 解：設(shè)左焦點為：N．連接AF，AN，AF，BF，可得：四邊形AFNB為矩形．
根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a．
∠ABF=α，則：∠ANF=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
∴e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，
α=∠ABF∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，∴$（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}]$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$∈$[\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$．
∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{6}}{3}]$．
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．