Question

5．新建的荊州中學(xué)擬模仿圖甲建造一座體育館，其設(shè)計(jì)方案?jìng)?cè)面的外輪廓線如圖乙所示：曲線AB是以點(diǎn)E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤8）單位：米）；曲線BC是拋物線y=ax²+18（a＜0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．假定擬建體育館的高OB=18米．

（Ⅰ）若要求CD=10米，AD=14米，求t與a的值；
（Ⅱ）若a=-$\frac{1}{36}$，將AD的長(zhǎng)表示為點(diǎn)E的縱坐標(biāo)t的函數(shù)f（t），并求AD的最大值．并求f（t）的最大值．（參考公式：若f（x）=$\sqrt{c-x}$，則f′（x）=-$\frac{1}{2\sqrt{c-x}}$，其中c為常數(shù)）

Answer 1

分析 （1）由題意可求得t=OB-EB=OB-CD=18-10=8，從而寫出圓E的方程為x²+（y-8）²=100；從而求得C（8，10）在拋物線y=ax²+18上，從而求a；
（2）化簡(jiǎn)圓E的方程為x²+（y-t）²=（18-t）²，從而寫出A（-$\sqrt{324-36t}$，0）；即OA=6$\sqrt{9-t}$；再求出OD=6$\sqrt{t}$；從而得到f（t）=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$（0＜t≤8）；求導(dǎo)
f′（t）=6（$\frac{-1}{2\sqrt{9-t}}$+$\frac{1}{2\sqrt{t}}$）=3-$\frac{\sqrt{9-t}-\sqrt{t}}{\sqrt{9-t}\sqrt{t}}$；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最大值．

解答 解：（1）由已知有，
t=OB-EB=OB-CD=18-10=8，
∴圓E的方程為x²+（y-8）²=100；
令y=0得A（-6，0），又AD=14，
∴OD=8，
即C（8，10）在拋物線y=ax²+18上，
∴a=-$\frac{1}{8}$；
（2）由題意得，CD=18-t，
∴圓E的方程為x²+（y-t）²=（18-t）²
令y=0得x²=324-36t，
∴A（-$\sqrt{324-36t}$，0）；
∴OA=6$\sqrt{9-t}$；
由18-t=-$\frac{{x}^{2}}{36}$+18得x²=36t；
∴OD=6$\sqrt{t}$；
又AD=AO+OD=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$；
∴f（t）=6$\sqrt{9-t}$+6$\sqrt{t}$（0＜t≤8）；
f′（t）=6（$\frac{-1}{2\sqrt{9-t}}$+$\frac{1}{2\sqrt{t}}$）=3-$\frac{\sqrt{9-t}-\sqrt{t}}{\sqrt{9-t}\sqrt{t}}$；
令f′（t）=0得t=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)0＜t＜$\frac{9}{2}$時(shí)，f′（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)$\frac{9}{2}$＜t≤8時(shí)，f′（t）＜0，f（t）單調(diào)遞減；
故t=$\frac{9}{2}$時(shí)，f_max（t）=18$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．