Question

20．設(shè)x，y都是正數(shù)，且x+y＞2．證明：$\frac{1+x}{y}$＜2和$\frac{1+y}{x}$＜2中至少有一個成立．

Answer 1

分析 假設(shè)$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$≥2，根據(jù)x，y都是正數(shù)可得 x+y≤2，這與已知x+y＞2矛盾，故假設(shè)不成立．

解答 證明：假設(shè)$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$都不成立，即$\frac{1+x}{y}$≥2且$\frac{1+y}{x}$≥2，…（2分）
∵x，y都是正數(shù)，∴1+x≥2y，1+y≥2x，…（5分）
∴1+x+1+y≥2x+2y，…（8分）
∴x+y≤2…（10分）
這與已知x+y＞2矛盾…（12分）
∴假設(shè)不成立，即$\frac{1+x}{y}＜2$和$\frac{1+y}{x}＜2$中至少有一個成立…（14分）

點評 本題考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點．