Question

15．設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+$\frac{1}{z}$是實(shí)數(shù)，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值；
（2）求z的實(shí)部的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可求|z|的值；
（2）根據(jù)ω的取值范圍即可求z的實(shí)部的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R且b≠0），
則ω=z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=（a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$）+（b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$）i，
∵ω=z+$\frac{1}{z}$是實(shí)數(shù)，
∴b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，∵b≠0，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+^{2}}=1$，即a²+b²=1，則|z|=1．
（2）∵a²+b²=1，∴ω=2a，
由-1＜ω＜2得-1＜2a＜2，得-$\frac{1}{2}$＜ω＜1．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，比較基礎(chǔ)．