Question

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{n}{e^{mx}}$（m，n∈R⁺）的圖象在x=0處的切線l與圓C：x²+y²=1相切，則m+n的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，求出切線方程，利用切線與圓x²+y²=1相切，可得m²+n²=1，利用基本不等式，可求m+n的最大值．

解答 解：求導(dǎo)數(shù)，可得f′（x）=$\frac{m}{n}$e^mx，
令x=0，則f′（0）=$\frac{m}{n}$，又f（0）=$\frac{1}{n}$，
則切線方程為y-$\frac{1}{n}$=$\frac{m}{n}$（x-0），
即mx-ny+1=0，
∵切線與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
∴m²+n²=1，
∵m＞0，n＞0
∴m²+n²≥2mn，
∴2（m²+n²）≥（m+n）²
∴m+n≤$\sqrt{2（{m}^{2}+{n}^{2}）}$=$\sqrt{2}$，
∴m+n的最大值是$\sqrt{2}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查直線與圓相切的條件，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．