Question

5．已知（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和大992，求（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求得n=5，可得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的通項(xiàng)公式，從而求得（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：根據(jù)（$\root{3}{x}$+x²）²ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和比（3x-1）ⁿ的展開(kāi)式的系數(shù)和大992，
可得2²ⁿ-2ⁿ=992，求得2ⁿ=32，或 2ⁿ=31（舍去），∴n=5．
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ=（2x-$\frac{1}{x}$）¹⁰ 的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r•x^10-2r，
故第r+1項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r，檢驗(yàn)可得，當(dāng)r=4時(shí)，第r+1項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{r}$•（-1）^r•2^10-r最大，
故（2x-$\frac{1}{x}$）²ⁿ的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)₅=13440x²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式；注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．