Question

【題目】如圖，某市若規(guī)劃一居民小區(qū)ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府決定從該地塊中劃出一個直角三角形地塊AEF建活動休閑區(qū)（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為1千米，△AEF的面積為S．

（1）①設(shè)AE=x，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠AEF=θ，求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得直角三角形地塊AEF的面積S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①設(shè)AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，

解得y= （由y＞0可得0＜x＜ ），

可得S= xy= （0＜x＜ ）；

②AF=xtanθ，EF= ，

由x+xtanθ+ =1，可得x= ，

即有S= xy= （0＜θ＜ ）

（2）解：由①得S= （0＜x＜ ），

設(shè)1﹣x=t（ ＜t＜1），則x=1﹣t，

S= = （3﹣2t﹣ ）

≤ （3﹣2 ）= ，

當(dāng)且僅當(dāng)2t= ，即t= ，即x=1﹣ 時，

直角三角形地塊AEF的面積S最大，且為

【解析】（1）①設(shè)AF=y，由勾股定理可得y= （由y＞0可得0＜x＜ ），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF= ，由周長為1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S= （0＜x＜ ），設(shè)1﹣x=t（ ＜t＜1），則x=1﹣t，可得S= = （3﹣2t﹣ ）運(yùn)用基本不等式，可得最大值及x的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值才能正確解答此題．