Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在處的切線互相垂直，求的值；

（2）當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，求證：；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方？若存在，請(qǐng)求出最大整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)理由.（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）1

【解析】分析：（1）求導(dǎo)得切線斜率為和，由垂直得斜率積為-1，從而得解；

（2），求導(dǎo)得，令，要使函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，只需要在有非重根，利用二次方程根的分別即可得解；

（3）對(duì)恒成立，令，，令，存在，使得，即，則，取到最小值, 所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，從而得解.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，則在處的斜率為，

又在處的斜率為，則，解得 .

（2）函數(shù)，

則 .

∵，∴，令，

要使函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，只需要在有非重根，

由于開口向上，且

只需要，得，

因?yàn)?/span>，所以，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，命題得證 .

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則不等式對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立 .

令，則，

令，則，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，，，且的圖象在上不間斷，

所以存在，使得，即，則，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

則取到最小值，

所以，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，

所以存在實(shí)數(shù)滿足題意，且最大整數(shù)的值為1 .