Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^-x（x-1）給出以下命題：
①當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^-x（x+1）；
②函數(shù)f（x）有五個(gè)零點(diǎn)；
③若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是f（-2）≤x≤f（2）；
④?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
其中，正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：應(yīng)用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷求解．

解答： 解：令x＜0，所以-x＞0，所以f（-x）=e^x（-x-1）=-f（x），所以f（x）=e^x（x+1）
故①正確；觀察f（x）在x＜0時(shí)的圖象，令f′（x）=e^x（x+1）+e^x=0，所以x=-2
可知f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，0）上遞增，而在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上f（x）＞0
由此可判斷在（-∞，0）僅有一個(gè)零點(diǎn)，有對(duì)稱(chēng)性可知f（x）在（0，∞）上也有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)閒（0）=0，故該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．
由圖可知，若關(guān)于x的方程f（x）=m有解，則-1＜m＜1，且?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）＜2|恒成立．

故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的概念和性質(zhì)，綜合函數(shù)圖象性質(zhì)，求解綜合性較大，運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)比較多，做題要仔細(xì)認(rèn)真．