已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=e-x(x-1)給出以下命題:
①當x<0時,f(x)=e-x(x+1);
②函數(shù)f(x)有五個零點;
③若關于x的方程f(x)=m有解,則實數(shù)m的取值范圍是f(-2)≤x≤f(2);
④?x1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立.
其中,正確命題的序號是
 
考點:函數(shù)奇偶性的性質
專題:綜合題,函數(shù)的性質及應用
分析:應用奇函數(shù)的定義和性質,結合函數(shù)的圖象和性質判斷求解.
解答: 解:令x<0,所以-x>0,所以f(-x)=ex(-x-1)=-f(x),所以f(x)=ex(x+1)
故①正確;觀察f(x)在x<0時的圖象,令f′(x)=ex(x+1)+ex=0,所以x=-2
可知f(x)在(-∞,-2)上單調遞減,在(-2,0)上遞增,而在(-∞,-1)上,f(x)<0,在(-1,0)上f(x)>0
由此可判斷在(-∞,0)僅有一個零點,有對稱性可知f(x)在(0,∞)上也有一個零點,又因為f(0)=0,故該函數(shù)有三個零點.
由圖可知,若關于x的方程f(x)=m有解,則-1<m<1,且?x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)<2|恒成立.

故答案為:①④
點評:本題考查了函數(shù)的概念和性質,綜合函數(shù)圖象性質,求解綜合性較大,運用的知識點比較多,做題要仔細認真.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=-acos2x-asinx+
3a
2
+b(a≠0)的定義域為[-
π
2
,
π
2
],值域為[-4,5],求a、b的值.

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下列說法中錯誤的命題是
 

①一個命題的逆命題為真,它的否命題也一定為真;
②命題“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;
③“矩形的兩條對角線相等”的逆命題是真命題;
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分條件.

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1
x+1
+lg(1-x)的定義域是
 

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x2
x+m
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x=2+t
y=2t
(t為參數(shù))的距離的最大值為
 

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隨機變量X的分布列如下:若E(X)=
1
3
,則D(3X+1)的值是
 

X-101
Pa
1
3
c

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觀察下列式子:1>ln2,1+
1
2
>ln3,1+
1
2
+
1
3
>ln4,1+
1
2
+
1
3
+
1
4
>ln5,…,則可以歸納出第n個式子為
 

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