Question

12．已知△ABC的直角頂點A在y軸上，點B（1，0），D為斜邊BC的中點，且AD平行于x軸．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡為曲線Γ，直線BC與Γ的另一個交點為E，以CE為直徑的圓交y軸于點M，N，記圓心為P，∠MPN=α，求α的最大值．

Answer 1

分析 （1）設C（x，y），用x，y表示出A點坐標，根據(jù)AB⊥AC列方程化簡即可；
（2）討論BC的斜率，求出圓P的半徑和橫坐標，計算cos$\frac{α}{2}$，得出α的范圍．

解答 解：（1）設C（x，y），則D（$\frac{x+1}{2}$，$\frac{y}{2}$），A（0，$\frac{y}{2}$），
∴k_AB=-$\frac{y}{2}$，k_AC=$\frac{y}{2x}$，
∵AB⊥AC，
∴-$\frac{y}{2}$•$\frac{y}{2x}$=-1，即y²=4x，
∴點C的軌跡方程是y²=4x．
（2）①當直線BC無斜率時，直線BC的方程為x=1，此時C（1，2），E（1，-2），
P與B重合，M（0，$\sqrt{3}$），N（0，-$\sqrt{3}$），∴∠MPN=120°；
②當直線BC有斜率時，設直線BC的方程為y=k（x-1），
代入y²=4x得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設C（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，
∴|CE|=x₁+x₂+2=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴圓P的半徑r=$\frac{1}{2}$|CE|=2+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
P到y(tǒng)軸的距離d=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，
∴cos$\frac{α}{2}$=$\fracxk53ltk{r}$=$\frac{1+\frac{2}{{k}^{2}}}{2+\frac{2}{{k}^{2}}}$=1-$\frac{1}{2+\frac{2}{{k}^{2}}}$，
∵k²＞0，∴$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{α}{2}$＜1，
又0°＜$\frac{α}{2}$＜90°，∴0°＜$\frac{α}{2}$＜60°，
∴0°＜α＜120°．
綜上，α的最大值為120°．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．