Question

（本小題滿分14分）如圖，平面平面，四邊形為矩形，△為等邊三角形．為的中點(diǎn)，．

（1）求證：；
（2）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）連接,要證,只需證明面,只需證明, 由已知面面垂直，易證,所以,面,得到,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033934842571.png" style="vertical-align:middle;" />,易證,所以面,得,得證面，即證 ；（2）由（1），得．不妨設(shè)，則．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033935013544.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，則
過作，垂足為，連接，則就是二面角的平面角，易證,求出.
試題解析：（1）證明：連結(jié)，因，是的中點(diǎn)，

故．               1分
又因平面平面，
故平面，
于是．            3分
又，
所以平面，
所以，            5分
又因，故平面，
所以．            7分
（2）由（1），得．不妨設(shè)，則．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033935013544.png" style="vertical-align:middle;" />為等邊三角形，則                  9分
過作，垂足為，連接，
則就是二面角的平面角.                11分
在中，，，，
所以，又，所以
即二面角的正切值為．             14分