Question

8．已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R．設f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{1}（x）\\;{f}_{1}（x）≤{f}_{2}（x）}\\{{f}_{2}（x）\\;{f}_{1}（x）＞{f}_{2}（x）}\end{array}\right.$．
（1）當a=1時，解不等式：f₁（x）≤f₂（x）；
（2）當2≤a＜9時，設f（x）=f₂（x）所對應的自變量取值區(qū)間的長度為l（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m），試求l的最大值；
（3）是否存在這樣的a，使得當x∈[2，+∞）上，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，f₂（x）=|3^x-9|，利用平方法，可將f₁（x）≤f₂（x）化為（3^x-1）²≤（3^x-9）²，解指數(shù)不等式，得到答案；
（2）本問中借鑒上問（1）的解題思想，由具體到一般，方法依然是針對a的范圍條件，作差比較出f₁（x）與f₂（x）的大小，在2≤a＜9時，自變量x取哪些值時f（x）=f₂（x），進而確定求出f（x）的解析式，對參數(shù)的討論要結合具體的數(shù)值，從直觀到抽象采取分類策略．
（3）本問利用（2）的結論容易求解，需要注意的是等價轉(zhuǎn)化思想的應用，分類討論思想重新在本問中的體現(xiàn)．

解答 解：（1）當a=1時，f₂（x）=|3^x-9|．
若f₁（x）≤f₂（x），
則|3^x-1|≤|3^x-9|，
即（3^x-1）²≤（3^x-9）²，
即3^x≤5，
解得：x≤log₃5（5分）
（2）因為2≤a＜9，所以0＜log₃$\frac{9}{a}$≤log₃$\frac{9}{2}$，則
①當x≥log₃$\frac{9}{a}$時，
因為a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，
解得x≤log₃$\frac{8}{a-1}$，
從而當log₃$\frac{9}{a}$≤x≤log₃$\frac{8}{a-1}$時，f（x）=f₂（x）（6分）
②當0≤x＜log₃$\frac{9}{a}$時，
因為a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，
解得x≥log₃$\frac{10}{a+1}$，
從而當log₃$\frac{10}{a+1}$≤x＜log₃$\frac{9}{a}$時，f（x）=f₂（x）（7分）
③當x＜0時，
因為f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
從而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
綜上得，當且僅當x∈[log₃$\frac{10}{a+1}$，log₃$\frac{8}{a-1}$]時，f（x）=f₂（x），
故l=log₃$\frac{8}{a-1}$-log₃$\frac{10}{a+1}$=log₃[$\frac{4}{5}$（1+$\frac{2}{a-1}$）]（9分）
從而當a=2時，l取得最大值為log₃$\frac{12}{5}$（10分）
（2）“當x∈[2，+∞）時，f（x）=f₂（x）”等價于“f₂（x）≤f₁（x）對x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）對x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①當a≥1時，log₃$\frac{9}{a}$≤2，
則當x≥2時，a•3x-9≥a•3log₃$\frac{9}{a}$-9=0，
則（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+$\frac{8}{3x}$，
而當x≥2時，1+$\frac{8}{3x}$＞1，
所以a≤1，從而a=1適合題意（12分）
②當0＜a＜1時，log₃$\frac{9}{a}$＞2．
（1）當x＞log₃$\frac{9}{a}$時，（*）可化為a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+$\frac{8}{3x}$，而1+$\frac{8}{3x}$＞1，
所以a≤1，此時要求0＜a＜1（（13分）
（2）當x=log₃$\frac{9}{a}$時，（*）可化為0≤3x-1=$\frac{9}{a}$-1，
此時只要求0＜a＜9（14分）
（3）當2≤x＜log₃$\frac{9}{a}$時，（*）可化為9-a•3^x≤3^x-1，即a≥$\frac{10}{3x}$-1，而$\frac{10}{3x}$-1≤$\frac{1}{9}$，
所以a≥$\frac{1}{9}$，此時要求$\frac{1}{9}$≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得$\frac{1}{9}$≤a＜1符合題意要求．
綜合①②知，滿足題意的a存在，且a的取值范圍是$\frac{1}{9}$≤a≤1（16分）

點評 本題考查分段函數(shù)的有關概念，函數(shù)求值的問題；對函數(shù)的導數(shù)的概念亦有所考查，含參數(shù)的數(shù)學問題的討論，注重對分類討論思想，數(shù)形結合思想的考查，考查了對近年來高考真題中出現(xiàn)的有關恒成立問題，存在性問題的求解策略，對函數(shù)知識的綜合性解題能力有很高的要求，屬于壓軸題的題目難度．本題的求解策略是細讀題意，精確分析采取有難到易，各點擊破的思想，同時注意解題思想的應用．