【題目】已知函數f(x)= sin cos +sin2 (ω>0,0<φ< ).其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為 ,且過點( ,1).
(1)函數f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知 = .且f(A)= ,求角C的大。
【答案】
(1)解:由題意得,f(x)= sin(ωx+φ)+ [1﹣cos(ωx+φ)]
= ,
∵兩個相鄰對稱中心的距離為 ,則T=π,
∴ ,且ω>0,解得ω=2,
又f(x)過點 ,∴ ,
則 ,即cosφ= ,由0<φ< 得,φ= ,
∴f(x)= ;
(2)解:在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,
∴b2﹣a2﹣c2=﹣2accosB,
同理可得,c2﹣a2﹣b2=﹣2abcosC,
代入 得, = ,
由正弦定理得, ,
由0<C<π得sinC≠0,∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB,
∴2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,
由0<A<π得sinA≠0,化簡得cosB= ,
∵0<B<π,∴B= ,
由 得 ,則 ,
∵ ,∴ ,則 或 ,
解得 或 ,
所以當 時, ;當 時,
【解析】(1)根據二倍角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式,結合條件求出周期,由周期公式求出ω,將點 代入解析式化簡后,由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出φ,即可求出f(x);(2)由正弦定理和余弦定理化簡已知的式子,利用兩角和的正弦公式和內角的范圍求出B,由解析式化簡 ,根據角A的范圍和特殊角的三角函數值求出A,再由內角和定理求出C.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用正弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握正弦定理:.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形,且點P為AD的中點,點Q為SB的中點.
(1)求證:CD⊥平面SAD.
(2)求證:PQ∥平面SCD.
(3)若SA=SD,點M為BC的中點,在棱SC上是否存在點N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在,請說明其位置,并加以證明;若不存在,請說明理由.
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【題目】設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1,F2,線段OF1,OF2的中點分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為1的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)點M為該橢圓上任意一點,求|MA|的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市為了鼓勵市民節(jié)約用水,實行“階梯式”水價,將該市每戶居民的月用水量劃分為三檔:月用水量不超過4噸的部分按2元/噸收費,超過4噸但不超過8噸的部分按4元/噸收費,超過8噸的部分按8元/噸收費.
(1)求居民月用水量費用(單位:元)關于月用電量(單位:噸)的函數解析式;
(2)為了了解居民的用水情況,通過抽樣,獲得今年3月份100戶居民每戶的用水量,統計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖,若這100戶居民中,今年3月份用水費用不超過16元的占66%,求的值;
(3)在滿足條件(2)的條件下,若以這100戶居民用水量的頻率代替該月全市居民用戶用水量的概率.且同組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替.記為該市居民用戶3月份的用水費用,求的分布列和數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正三角形所在平面與梯形所在平面垂直, , , 為棱的中點.
(1)求證: 平面;
(2)若直線與平面所成的角為30°,求三棱錐的體積.
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【題目】已知向量 =(1, ), =(sinx,cosx),設函數f(x)=
(1)求函數f(x)的最小正周期和最大值;
(2)設銳角△ABC的三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c= ,cosB= ,且f(C)= ,求b.
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【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸)標準煤的幾組對照數據:
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)求y關于x的線性回歸方程;(已知 )
(2)已知該廠技術改造前100噸甲產品能耗為90噸標準煤,試根據(1)求出的線性回歸方程,預測生產100噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低了多少噸標準煤.
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