Question

16．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右準線與兩漸近線交于A，B兩點，它右焦點為F，若△ABF為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為2．

Answer 1

分析 求得雙曲線的右準線方程和漸近線方程，可得A，B的坐標和距離，求得F到準線的距離，再由等邊三角形的高與邊長的關系，結合雙曲線的a，b，c，e的關系，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右準線方程為x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
兩漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，可得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
則等邊三角形ABF的邊長為|AB|=$\frac{2ab}{c}$，
F（c，0）到右準線的距離為c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，
可得c-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2ab}{c}$，
即b²=c²-a²=$\sqrt{3}$ab，
即為b=$\sqrt{3}$a，
即b²=c²-a²=3a²，
則c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2，
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的準線方程和漸近線方程，同時考查等邊三角形的性質，運算能力，屬于中檔題．