Question

8．已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為4．橢圓與直線y=x+2相交于A、B兩點．
（1）求橢圓的方程；  
（2）求弦長|AB|

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為4，列出方程組，能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，得5x²+16x=0，由此能求出弦長|AB|．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，得5x²+16x=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{16}{5}}\\{{y}_{2}=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴A（0，2），B（-$\frac{16}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{6}{5}-2）^{2}+（-\frac{16}{5}-0）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．