Question

7．給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)f（x）=|x|-1既是偶函數(shù)，又是（0，+∞）的單調(diào)遞增函數(shù)；
②若關(guān)于x的不等式|x-4|+|x+3|＜a的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，7）；
③若函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則a=5；
④設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b、c∈R）恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=3lg2．（其中所有真命題的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 分析函數(shù)f（x）=|x|-1的單調(diào)性和奇偶性，可判斷①；求出|x-4|+|x+3|的最小值，可判斷②；求出函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|圖象對(duì)稱軸的表達(dá)式，可判斷③；計(jì)算f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值，可判斷④．

解答 解：①函數(shù)f（x）=|x|-1，滿足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=|x|-1=x-1是單調(diào)遞增函數(shù)，故正確；
②|x-4|+|x+3|≥|（x-4）-（x+3）|=7，若關(guān)于x的不等式|x-4|+|x+3|＜a的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，7]，故錯(cuò)誤；
③若函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，則$\frac{a-1}{2}=2$，則a=5，故正確；
④設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lg|x-2|（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0（b、c∈R）恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
則x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10，
則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（10）=3lg2，故正確．
故正確的命題有①②③④，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對(duì)稱性等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．