Question

16．設(shè)曲線$y=\sqrt{2x-{x^2}}$與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)镈，向區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}內(nèi)的概率為$\frac{π-1}{π}$．

Answer 1

分析 求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：$y=\sqrt{2x-{x^2}}$與x軸所圍成的區(qū)域?yàn)橐訡（1，0）為圓心半徑為1的上半圓，面積S_D=$\frac{1}{2}π×{1}^{2}$=$\frac{π}{2}$，
該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}的區(qū)域如圖：如圖陰影部分，
則扇形AOC的面積S=$\frac{1}{4}π×{1}^{2}$=$\frac{π}{4}$，
三角形OAC的面積S_△AOC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
扇形AOD的面積S=$\frac{45}{360}$π$（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{π}{4}$，
則陰影部分的面積S_陰影=S_扇形AOC+S_扇形AOD-S_△AOC=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}$，
由幾何概率的計(jì)算公式可得，該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域{（x，y）∈D|x²+y²＜2}的概率P=$\frac{\frac{π-1}{2}}{\frac{π}{2}}$=$\frac{π-1}{π}$，
故答案為：$\frac{π-1}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何概型的概率計(jì)算以及扇形的面積公式的計(jì)算，要求熟練掌握扇形的面積公式和幾何概型的概率公式．