Question

17．在極坐標系中，已知曲線C₁：ρ=2cosθ和曲線C₂：ρcosθ=3，以極點O為坐標原點，極軸為x軸非負半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點P是曲線C₁上一動點，過點P作線段OP的垂線交曲線C₂于點Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據極坐標和普通坐標之間的關系進行轉化求解即可．
（Ⅱ）設出直線PQ的參數方程，利用參數的幾何意義進行求解即可．

解答 解：（ I）C₁的直角坐標方程為（x-1）²+y²=1，…（2分），
C₂的直角坐標方程為x=3；…（4分）
（ II）設曲線C₁與x軸異于原點的交點為A，
∴PQ過點A（2，0），
設直線PQ的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$，
代入C₁可得t²+2tcosθ=0，解得，
可知|AP|=|t₂|=|2cosθ|…（6分）
代入C₂可得2+tcosθ=3，解得${t^/}=\frac{1}{cosθ}$，
可知$|AQ|=|{t^/}|=|\frac{1}{cosθ}|$                     …（8分）
所以PQ=$|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|\frac{1}{cosθ}|≥2\sqrt{2}$，當且僅當$|2cosθ|=|\frac{1}{cosθ}|$時取等號，
所以線段PQ長度的最小值為$2\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查極坐標方程和普通坐標方程之間的轉化，考查學生的轉化能力．