【題目】如圖,在幾何體中,平面平面,四邊形為菱形,且 , , 中點(diǎn).

(Ⅰ)求證: ∥平面;

(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn),使 ? 若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)

【解析】試題分析:(Ⅰ)取 中點(diǎn),連結(jié),利用面面平行平面∥平面,得到線面平行∥平面;(Ⅱ)取中點(diǎn),連結(jié), ,先證兩兩垂直,故可以為原點(diǎn), 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出的方向向量,面的法向量,利用可得結(jié)果;(Ⅲ)設(shè)上一點(diǎn),且,根據(jù)共線可得的坐標(biāo),結(jié)合數(shù)量積為0,可得結(jié)果.

試題解析:(Ⅰ)

中點(diǎn),連結(jié)

因?yàn)?/span>分別為中點(diǎn),所以

平面平面,所以∥平面,

因?yàn)?/span> ,所以

所以四邊形為平行四邊形.所以

平面平面,所以∥平面,

,所以平面∥平面

平面,所以∥平面

(Ⅱ)

中點(diǎn),連結(jié), .因?yàn)?/span>,所以

因?yàn)槠矫?/span>平面,所以平面,

因?yàn)?/span>, ,所以△為等邊三角形.

因?yàn)?/span>中點(diǎn),所以

因?yàn)?/span>兩兩垂直,設(shè),以為原點(diǎn), 軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得, , , ,

, ,

設(shè)平面的法向量為,則

,則 .所以

設(shè)直線與平面成角為,

所以直線與平面所成角的正弦值為

(Ⅲ)設(shè)上一點(diǎn),且, ,因此點(diǎn)

.由,解得

所以在棱上存在點(diǎn)使得 ,此時(shí)

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據(jù)此估計(jì),直到第二次就停止的概率為(  )

A. B.

C. D.

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