Question

20．如圖四棱錐S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中點，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=6．
（1）求異面直線EO與BC所成的角．
（2）求點E到平面SAB距離．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EO與BC所成的角．
（2）求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出點E到平面SAB距離．

解答 解：（1）∵四棱錐S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中點，O是底面正方形ABCD的中心，
又AD∩CD=D，∴SD⊥平面ABCD，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AB=SD=6，∴S（0，0，6），C（0，6，0），E（0，3，3），O（3，3，0），B（6，6，0），
$\overrightarrow{EO}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{BC}$=（-6，0，0），
設異面直線EO與BC所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EO}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{EO}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{18}{\sqrt{18}•6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴異面直線EO與BC所成的角為45°．
（2）S（0，0，6），E（0，3，3），A（6，0，0），B（6，6，0），
$\overrightarrow{SA}$=（6，0，-6），$\overrightarrow{SB}$=（6，6，-6），$\overrightarrow{SE}$=（0，3，-3），
設平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=6x-6z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=6x+6y-6z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴點E到平面SAB距離d=$\frac{|\overrightarrow{SE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．