Question

8．在四棱錐P-ABCD 中，△PAD 為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=2，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中點E，連結(jié)DE，推導(dǎo)出點D在以AB為直徑的圓上，由此能證明BD⊥平面PAD．
（Ⅱ）取AD中點O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，設(shè)C到平面PBD的距離為h，由V_P-BCD=V_C-PBD，能求出點C到平面PBD的距離．

解答 證明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，取AB中點E，連結(jié)DE，則DE∥BC，且DE=BC，
故DE=$\frac{1}{2}AB$，即點D在以AB為直徑的圓上，
∴BD=AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD?平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．
解：（Ⅱ）取AD中點O，連結(jié)PO，則PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
由（Ⅰ）知△ABD和△PBD都是直角三角形，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△PBD}=\frac{1}{2}PD•BD$=2$\sqrt{3}$，${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•CD•sin120°$=$\sqrt{3}$，
解得PO=$\sqrt{3}$，
設(shè)C到平面PBD的距離為h，
由V_P-BCD=V_C-PBD，得$\frac{1}{3}{S}_{△PBD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PO$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點C到平面PBD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．