Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，面積S=

3

2

abcosC．
（1）求角C的大��；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的最大值，及取得最大值時(shí)角B的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）利用三角形面積公式表示出S，代入已知等式，整理求出tanC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由C的度數(shù)確定出B的范圍，進(jìn)而確定出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出最大值，以及此時(shí)B的度數(shù)即可．

解答： 解：（1）由S=

1

2

absinC及題設(shè)條件得

1

2

absinC=

3

2

abcosC，
即sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

；
（2）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵C=

π

3

，
∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
當(dāng)B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時(shí)，f（B）有最大值是

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，三角形面積公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．