Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2-1

（a＞0）．
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)的單調(diào)性定義給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的判斷，首先求出定義域，然后判斷f（x-）與f（x）的關(guān)系；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x±1}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
f（-x）=

-ax

(-x)2-1

=-

ax

x2-1

=-f（x），所以函數(shù)f(x)=

ax

x2-1

（a＞0）為奇函數(shù)；
證明：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x±1}，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱；
又有f(-x)=

-ax

(-x)2-1

=-

ax

x2-1

=-f(x)，于是f（x）為奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f(x)=

ax

x2-1

（a＞0）在（-∞，-1）；（-1，1）；（1，+∞）三個區(qū)間上單調(diào)遞減；
證明：設(shè)x₁＜x₂＜-1，則f(x2)-f(x1)=

ax2

x 2 2 -1

-

ax1

x 2 1 -1

=

a[x2( x 2 1 -1)-x1( x 2 2 -1)]

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

=

a(x1-x2)(x1x2+1)

( x 2 2 -1)( x 2 1 -1)

又∵x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，(

x

2 2

-1)(

x

2 1

-1)＞0且a＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0⇒f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)；同理，f（x）在（-1，1）及（1，+∞）上均為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷和證明以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．