Question

11．若e^x＞ln（x+m）（其中x∈R且x＞-m），證明：m＜$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 分離參數(shù)得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，求最小值，從而結(jié)論得證．

解答 證明：因為e^x＞ln（x+m）恒成立，
分離參數(shù)得，m＜${e}^{{e}^{x}}$-x，所以m＜[${e}^{{e}^{x}}$-x]_min，
構(gòu)造函數(shù)，F(xiàn)（x）=${e}^{{e}^{x}}$-x，
令F'（x）=${e}^{{e}^{x}+x}$-1=0得，e^x+x=0，
記g（x）=e^x+x，單調(diào)遞增，設(shè)該函數(shù)的零點為x₀，
因為g（-1）＜0，g（-$\frac{1}{2}$）＞0，所以x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
因此F（x）_min=F（x）_極小值=F（x₀）=-（x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$）＜-（-$\frac{1}{2}$-2）=$\frac{5}{2}$，
上式化簡用到：①x₀滿足方程e^x+x=0，②x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），③雙勾函數(shù)單調(diào)性．
所以m＜$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．