Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），經(jīng)過點P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓右頂點M，求證：直線l恒過定點．

Answer 1

分析 （I）通過將點P代入橢圓方程并利用離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，計算即得結(jié)論；
（II）通過對直線的斜率進(jìn)行討論，不妨設(shè)直線l的方程，利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，通過將直線方程代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算中，計算即得結(jié)論．

解答 （I）解：由$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=3\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}\right.$，
所以橢圓C的方程是：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（II）證明：（方法一）（1）由題意可知，直線l的斜率為0時，不合題意．
（2）不妨設(shè)直線l的方程為 x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}x=ky+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去x得（k²+4）y²+2kmy+m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有${y_1}+{y_2}=-\frac{2km}{{{k^2}+4}}$…①，${y_1}{y_2}=\frac{{{m^2}-4}}{{{k^2}+4}}$．…②
∵以AB為直徑的圓過點M，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$．
由$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-2，{y_1}），\overrightarrow{MB}=（{x_2}-2，{y_2}）$，得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得$（{k^2}+1）{y_1}{y_2}+k（m-2）（{y_1}+{y_2}）+{（m-2）^2}=0$．…③
將①②代入③，得 $\frac{{5{m^2}-16m+12=0}}{{{k^2}+4}}$，
解得$m=\frac{6}{5}$或m=2（舍）．
綜上，直線l經(jīng)過定點$（\frac{6}{5}，0）$．
（方法二）（1）當(dāng)k不存在時，易得此直線恒過點$（\frac{6}{5}，0）$．
（2）當(dāng)k存在時．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（2，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，可得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-12=0．
△=16（4k²-m²+1）＞0，${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$…①，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{4{k^2}+1}}$．…②
由題意可知$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，$\overrightarrow{MA}=（{x_1}-2，{y_1}），\;\;\overrightarrow{MB}=（{x_2}-2，{y_2}）$，y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m．
可得 （x₁-2）•（x₂-2）+y₁y₂=0．
整理得 $（km-2）（{x_1}+{x_2}）+（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+4+{m^2}=0$…③
把①②代入③整理得：$\frac{{12{k^2}+16km+5{m^2}}}{{4{k^2}+1}}=0$，
由題意可知  12k²+16km+5m²=0，
解得 $m=-2k，m=-\frac{6}{5}k$．
（i） 當(dāng)m=-2k時，即y=k（x-2），直線過定點（2，0）不符合題意，舍掉．
（ii） $m=-\frac{6}{5}k時$，即$y=k（x-\frac{6}{5}）$，直線過定點$（\frac{6}{5}，0）$，經(jīng)檢驗符合題意．
綜上所述，直線l過定點$（\frac{6}{5}，0）$．

點評 本題是一道直線圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程、直線過定點問題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．